Ein rechteckiges Graphengitter ist ein konkretes quantenmechanisches System, das man mit ein wenig Phantasie als „eineinhalbdimensional“ bezeichnen könnte.

Solche Systeme sind von großem Interesse gerade für das Gebiet der „Quantendrähte“. Und obwohl das System an sich sehr einfacher mathematischer Natur ist, birgt es interessante irreguläre Strukturen in sich.

Nun sind Quantendrähte, strenggenommen, recht komplizierte Viel-Teilchen-Systeme, für die eine rigorose Beschreibung a priori ausscheidet.

Mit der Annahme einer idealen Kristallstruktur könnte man nun einen elektrischen Leiter in einem Energiebereich betrachten, in dem das Profil des Leitungsbandes „hinreichend flach“ ist.

Wir wollen hier noch weiter gehen, auch die Breite des Leiters vernachlässigen, also annehmen, daß die Elektronen in nur einer einzigen Transversalmode bleiben. (Dies läßt sich für dünne Drähte nicht nur durch naïve Anschauung rechtfertigen und nicht nur durch experimentelle Befunde, sondern auch durch ein theoretisches Argument, demgemäß eine Kopplung zwischen verschiedenen Moden ein dynamisches Tunneln im p-Raum voraussetzt und somit exponentiell mit der Leiterdicke abnimmt.

Natürlich wäre es eher uninteressant, einfach nur Drähte durch Linien zu modellieren; vielmehr sind wir hier insbesondere an globalen Effekten interessiert, wie sie bei einer großen Anzahl „Einheitszellen“ entstehen. Daher werden wir mit einer unendlich ausgedehnten Struktur arbeiten, die ein gutes Modell für „große“ Systeme, in denen alle Randeffekte als nur mehr zu vernachlässigende Störung anzusehen sind, darstellt.

Eine letzte vorbereitende Anmerkung gelte hier den auftretenden zahlentheoretischen Betrachtungen: Gerade Physiker mit ihrer Philosophie der fehlerbehafteten Messungen dürften mit schierem Unbehagen auf ein System reagieren, von dem behauptet wird, es zeige manche Eigenschaften in Abhängigkeit von abstrakten mathematisch-zahlentheoretischen Betrachtungen; aber zum Glück werden wir keineswegs einen irrationalen Parameterwert von z.B. √2 als gänzlich andersartig im Vergleich zu dessen rationalen Näherungen – z.B. 1,414 – bezeichnen wollen. Vielmehr wird es eine Rolle spielen, inwiefern eine Zahl durch einfache rationale Verhältnisse darstellbar ist, so daß sich die „Irrationalität“ von √2 durchaus schon bei den rationalen Näherungen (also gewissermaßen auf größerer Skala) mehr und mehr abzeichnet.

Die mathematische Konkretisierung dieser vagen Sprechweise wird dann über den Begriff des Kettenbruches geschehen: Entscheidend ist sodann, wie viele der Koeffizienten ni in der Kettenbruchdarstellung ungleich null sind und ob diese Folge der ni beschränkt ist; dies werden wir als „Maß“ für die Irrationalität einer
(positiven) reellen Zahl ansehen.

Der Konfigurationsraum unseres Systems sei dasjenige rechteckige zweidimensionale Graphengitter, dessen primitive Einheitszelle ein Rechteck mit Seiten l1, l2 sei.

Das heißt insbesondere, daß das Elektron nur auf den Linien (und den Kreuzungspunkten) „lebt“. Ohne äußeres Feld ist die Bewegung als frei anzusehen.

Da für unsere Betrachtungen die konkret gewählte Energieskala keine Rolle spielt, werden wir der Bequemlichkeit halber „atomare Einheiten“ mit ̄h² /(2m) = 1 wählen.

Wir schreiben also für den Hamiltonoperator H, für eine Wellenfunktion ψ und für alle Punkte x zwischen zwei Kreuzungspunkten: Hψ = −ψʺ